Mathématiques de base Exemples

$\frac{64 - y^{2}}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 17 y + 70}{y^{2} - y - 56}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{8^{2} - y^{2}}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 17 y + 70}{y^{2} - y - 56}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 8$ et $b = y$ .

$\frac{(8 + y) (8 - y)}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 17 y + 70}{y^{2} - y - 56}$

Étape 2

Factorisez $y^{2} + 6 y - 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 16$ et dont la somme est $6$ .

$- 2, 8$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(8 + y) (8 - y)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y^{2} + 17 y + 70}{y^{2} - y - 56}$

Étape 3

Factorisez $y^{2} + 17 y + 70$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $70$ et dont la somme est $17$ .

$7, 10$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(8 + y) (8 - y)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{(y + 7) (y + 10)}{y^{2} - y - 56}$

Étape 4

Factorisez $y^{2} - y - 56$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 56$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 8, 7$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(8 + y) (8 - y)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{(y + 7) (y + 10)}{(y - 8) (y + 7)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun à $8 + y$ et $y + 8$ .

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Étape 5.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(y + 8) (8 - y)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{(y + 7) (y + 10)}{(y - 8) (y + 7)}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 8) (8 - y)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{(y + 7) (y + 10)}{(y - 8) (y + 7)}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 - y}{y - 2} \cdot \frac{(y + 7) (y + 10)}{(y - 8) (y + 7)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $y + 7$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 - y}{y - 2} \cdot \frac{(y + 7) (y + 10)}{(y - 8) (y + 7)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 - y}{y - 2} \cdot \frac{y + 10}{y - 8}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{8 - y}{y - 2}$ par $\frac{y + 10}{y - 8}$ .

$\frac{(8 - y) (y + 10)}{(y - 2) (y - 8)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $8 - y$ et $y - 8$ .

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Étape 5.4.1

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$\frac{(- 1 (- 8) - y) (y + 10)}{(y - 2) (y - 8)}$

Étape 5.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{(- 1 (- 8) - (y)) (y + 10)}{(y - 2) (y - 8)}$

Étape 5.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 8) - (y)$ .

$\frac{- 1 (- 8 + y) (y + 10)}{(y - 2) (y - 8)}$

Étape 5.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (y - 8) (y + 10)}{(y - 2) (y - 8)}$

Étape 5.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (y - 8) (y + 10)}{(y - 2) (y - 8)}$

Étape 5.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (y + 10)}{y - 2}$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y + 10}{y - 2}$